数学，是每一个人一生都离不开的学科，从牙牙学语开始，我们就开始了与数学打交道。

一开始，爸妈会教我们最简单的1，2，3，4。到了幼儿园的年龄，我们会学习最简单的加减法。

而在人类文明发展史上，似乎也是如此，从最简单的计数开始，比如结绳计数，都是从整数（自然数）开始。

在人类最开始的潜意识里，整数是最整洁的表达方式，最能代表大自然的事物。

但随后人们发现，仅仅有整数已经不能充分表达大自然。比如说，有一个苹果，要分给两个人，一个人半个苹果，该如何表达半个苹果呢？

于是小数（分数）便出现了，人们对数学的认知更进一步。

随着人们对数学的研究，发现数学是如此地简洁，如此地优美，人们坚信数学可以表达大自然的任何事物。

但一个意外的发现，彻底颠覆了人们对数学的传统认知。

在研究等腰直角三角形时，人们发现一个不寻常的事实，如果等腰三角形的两个直角边长为1，那么斜边长的长度是多少呢？

数学家们通过计算发现，斜边的长度根号2是一个非常长的小数，不管用什么方法计算，如何计算，好像都算不完。

让数学家更狂躁不安的是，这个根号2不仅仅很长，而且还没有规律，似乎不能用分数表达，不像1/3那样，虽然用小数表达时也很长，但它有规律可循，可以用分数简洁地表达出来。

第一次，人们对自然数的简洁产生了怀疑。而且，人们还发现，像根号2这样的无理数并不罕见，看起来比整数还要多得多。

人们开始认真研究无理数，认为无理数一定隐藏着更多数学奥秘。

在这个过程中，数学危机便出现了，第一次数学危机，最典型的代表就是芝诺悖论。

简单介绍下这个悖论。

你和乌龟赛跑，乌龟的起点是在你前面100米的地方，你的速度是乌龟的10倍。

也就是说你跑100米的时候（乌龟的起点），乌龟跑10米。你跑10米的时候，乌龟跑1米。你跑1米的时候，乌龟跑0.1米……

也就是说，可以这样计算：你跑的距离永远是乌龟之前的跑过的距离。这意味着你永远追不上乌龟。

但事实上我们都知道，你很快就会追上乌龟，只要你的速度比乌龟快，不管一开始乌龟领先你多少米，你总会追上乌龟然后完成超越。

这引发了人们对无穷的思考。人们认识到，对一段距离进行一分为二的分割需要无穷的时间，但你的时间是有限的，你不可能在有限的时间里去做无穷多的事情，这样就不会陷入“芝诺悖论”中。

就好比1+1/2+1/4+1/8……得到的数不可能是无穷大，总是有限的。

对无穷的这种理解，让人们成功化解第二次数学危机。

通俗地解释一下各位第二次数学危机，简单说就是0.999……和1的大小，两者是不是相等？

当时的人们认为，无论如何0.999……都比1小，因为无论9后面如何循环，都不会到1，只能无限接近1。

但后来人们得知，0.999……就是等于1，两者是一个数。

说白了，第二次数学危机本质上还是对微积分的理解，没有理解到微积分的本质。

事实上直到今天，仍旧有很多人没有学过微积分，不理解微积分的本质，还认为0.999……比1小。

第三次数学危机被称为“集合论悖论”，最典型的就是“罗素悖论”。

通俗地解释何为“罗素悖论”。有一个非常牛逼的理发师，在理发店门口贴上标语：能给所有不能给自己理发的人理发。

那么问题来了：这个理发师能给自己理发吗？

如果能，那么宣传的标语就有瑕疵。如果不能，标语同样是不严谨的：理发师不能给自己理发，但标语中说“能给所有不能给自己理发的人理发”！

有人说“罗素悖论”其实就是逻辑上的诡辩，集合定义上的诡辩，无论如何，没有任何人能完美诠释罗素悖论。

罗素悖论还有一个通俗的例子：上帝是无所不能的，那么上帝能够创造出一个他自己搬不动的石头吗？

相信很多人都听说过这个故事，无论能还是不能，结果都是矛盾的。

从概念上来看，与其说罗素悖论是集合上的悖论，倒不如说它是一个哲学上的概念，一种本体论。

这个悖论总是先把自己置之事外，最后发现自己换个角度来看，自己也处于某个事物当中，所以最大的问题就是：到底有没有处于事物当中？

其实这也是唯心主义的直接体现。如果世界只是你幻想出来的假象，那么“你”本身是否也是幻想出来的假象呢？

如果回答是肯定的，那么，你对“世界是假象”的质疑是否也是假象呢？

……

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